[蔚藍]新舊 Pickup 機制：期望值與保護效果比較
之前沒玩過大小保的手遊，計算了一下：
先講結論：
舊制度：200 抽期望值約 2.4 隻，平均回報較高。
新制度：200 抽期望值約 2.0 隻，但「至少一隻」的保護較強。
以下先忽略新制度的保底進度可繼承至下一池，跟第1~199抽的可能隱藏不同機率
一、制度說明
舊制度：
每抽有 0.7% 機率抽到 Pickup。
不論前 200 抽有沒有抽到 Pickup，完成 200 抽後，
都會另外獲得一張可以兌換一隻 Pickup 的票。
因此，200 抽的期望值為：
200 × 0.7% ＋ 1
＝1.4 ＋ 1
＝2.4 隻
新制度：
一般抽卡時，Pickup 機率同樣為 0.7%。
充能累積到 100 時，該抽的 Pickup 機率提高到 50%。
充能累積到 200 時，該抽必定得到 Pickup。
但只要中途抽到 Pickup，充能就會歸零，重新累積。
二、單一充能週期內，至少抽到一隻的累積機率
以下是「第一次抽到 Pickup 前」，也就是充能尚未重置時的機率。
+----------+----------------------------------+----------+
| 充能點數 | 計算方式 | 累積機率 |
+----------+----------------------------------+----------+
| 99 | 1－0.993^99 | 50.11% |
| 100 | 1－0.993^99 × 0.5 | 75.06% |
| 199 | 1－0.5 × 0.993^198 | 87.56% |
| 200 | 第 200 點必定得到 Pickup | 100.00% |
+----------+----------------------------------+----------+
解釋如下：
充能 99：
前 99 抽全部沒中的機率為 0.993^99。
所以至少中一次的機率為：
1－0.993^99
＝50.11%
充能 100：
要到第 100 抽後仍然沒有 Pickup，必須同時符合：
1. 前 99 抽全部沒中。
2. 第 100 抽的 50% 機會也沒中。
因此：
1－0.993^99 × 0.5
＝75.06%
充能 199：
要到第 199 抽後仍然沒有 Pickup，必須：
1. 前 99 抽全部沒中。
2. 第 100 抽的 50% 沒中。
3. 第 101～199 抽也全部沒中。
因此：
1－0.5 × 0.993^198
＝87.56%
充能 200：
第 200 點充能必定得到 Pickup，所以累積機率為 100%。
三、新舊制度的第一隻保護比較
+----------------------+----------+----------+
| 抽數 | 舊制度 | 新制度 |
+----------------------+----------+----------+
| 99 抽 | 50.11% | 50.11% |
| 100 抽 | 50.46% | 75.06% |
| 199 抽 | 75.29% | 87.56% |
| 第 200 抽當下 | 75.46% | 100.00% |
| 舊制度另計兌換票後 | 100.00% | 100.00% |
+----------------------+----------+----------+
前 99 抽兩種制度完全相同，因為都是固定 0.7%。
但到了第 100 抽，新制度有一次 50% 的保護，
所以至少一隻的機率會從舊制度的 50.46%，提高到 75.06%。
到了第 199 抽：
舊制度至少一隻的機率為 75.29%。
新制度至少一隻的機率為 87.56%。
第 200 抽當下：
舊制度單看抽卡結果，至少一隻的機率是 75.46%。
新制度則因為第 200 點必得，所以是 100%。
不過，舊制度抽完 200 抽後還會另外獲得兌換票。
因此，若把舊制度的票也算進去，
兩種制度在花滿 200 抽後，都能保證至少有一隻。
四、新制度抽滿 200 抽，會得到幾隻？
因為新制度抽到 Pickup 後，充能會立刻歸零，
所以第 100 抽的 50% 與第 200 抽的必得，
不能當成兩個獨立獎勵直接加上去。
把所有可能的中獎時間及充能重置納入後，
新制度抽滿 200 抽的結果約為：
+------------------+----------+
| Pickup 數量 | 機率 |
+------------------+----------+
| 剛好 1 隻 | 35.91% |
| 剛好 2 隻 | 38.50% |
| 剛好 3 隻 | 17.52% |
| 4 隻以上 | 8.07% |
+------------------+----------+
換算成累積機率：
+------------------+----------+
| Pickup 數量 | 累積機率 |
+------------------+----------+
| 至少 1 隻 | 100.00% |
| 至少 2 隻 | 64.09% |
| 至少 3 隻 | 25.59% |
| 至少 4 隻 | 8.07% |
+------------------+----------+
新制度在 200 抽內取得 Pickup 的平均數量約為：
2.002 隻
簡化來說，就是約 2.0 隻。
五、新舊制度總整理
+----------------------+------------------+------------------+
| 比較項目 | 舊制度 | 新制度 |
+----------------------+------------------+------------------+
| 一般 Pickup 機率 | 0.7% | 0.7% |
| 第 100 抽特殊保護 | 無 | 50% Pickup |
| 第 200 抽特殊保護 | 無 | 必得 Pickup |
| 200 抽後額外兌換 | 有 | 無 |
| 抽到後保底是否重置 | 不影響兌換 | 充能歸零 |
| 200 抽期望值 | 約 2.4 隻 | 約 2.0 隻 |
| 第一隻保護 | 較弱 | 較強 |
| 長期平均回報 | 較高 | 較低 |
| 遇到長期零 Pickup | 較容易 | 較不容易 |
| 保底進度跨池繼承 | 無 | 有 |
+----------------------+------------------+------------------+
六、結論
簡單來說：
舊制度＝平均拿得比較多。
新制度＝比較容易提早拿到第一隻，極端非洲的情況較少。
因此，可以把這次改動理解成：
「用部分平均期望值，交換更強的保底保護。」
對要抽高的人吃虧，但對於先只抽一隻的會得利。
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