Re: [蔚藍]新舊 Pickup 機制：期望值與保護效果比較
之前沒玩過大小保的手遊，計算了一下：
一、制度說明
舊制度：
每抽有 0.7% 機率抽到 Pickup。
不論前 200 抽有沒有抽到 Pickup，完成 200 抽後，
都會另外獲得一張可以兌換一隻 Pickup 的票。
新制度：
一般抽卡時，Pickup 機率同樣為 0.7%。
充能累積到 100 時，該抽的 Pickup 機率提高到 50%。
充能累積到 200 時，該抽必定得到 Pickup。
考慮雙 PU 池的情況，目標是要取得兩個PU池中的PU角。
定義隨機變數 N1 和 N2 為在第1池和第2池中的抽數。
WLOG，統一先抽第一池在抽第二池
另外還有個假設是：你石頭一定夠抽到兩PU角出來為止
再定義總抽數為 N = N1 + N2
PU機率 p = 0.007
想知道的情況就是：E[N] = E[N1] + E[N2]
新制度
這個很單純，E[N] = 2*E[N1] (兩卡池沒有關聯)
= 90.072 * 2
~= 180.144
舊制度
因為先抽的是第1池，所以 E[N1] 比較單純是 107.80
∞
E[N2] = Σ E[N2|無兌換券, 累計抽數=c] P(無兌換券, 累計抽數=c)
c=0
這邊用一個比較方便的算法:
對於任意必然 大於或等於零 的整數隨機變數 A，
∞
其期望值 E[A] = Σ P(A>a)
a=0
P(N2 > n2|無兌換券, 累計抽數=c)
= P(再抽n2抽仍然沒中且 n2+c <200| 無兌換券, 累計抽數=c)
= (1-p)^n2 ,n2+c <= 199 and n2 >=0
所以
n2 = 199-c
E(N2 |無兌換券, 累計抽數=c) = Σ (1-p)^n2
n2=0
= [1-(1-p)^(200-c)]/p
另一方面
P(無兌換券, 累計抽數=c) = (1-p)^(c-1)*p, 1<= c <=199 (第一池在1~199抽抽中) (1-p)^200 , c = 0 (第一池200抽沒中)
這樣可以算 E[N2] 了:
∞
E[N2] = Σ E[N2|無兌換券, 累計抽數=c] P(無兌換券, 累計抽數=c)
c=0
199
= Σ E[N2|無兌換券, 累計抽數=c] P(無兌換券, 累計抽數=c)
c=0
199
= Σ [1-(1-p)^(200-c)]/p * P(無兌換券, 累計抽數=c)
c=0
= [1-(1-p)^(200)]/p*(1-p)^200
199
+ Σ [1-(1-p)^(200-c)]/p * (1-p)^(c-1)*p
c=1
= [1-(1-p)^(200)]/p*(1-p)^200 + [1-(1-p)^(199)]/p - 199(1-p)^199
~= 84.83
所以舊制中取得 2PU池中PU角的抽數是
E[N] = E[N1] + E[N2] ~= 107.80 + 84.83 = 192.63
看起來新制度 (平均 180.144) 在雙PU上也是對玩家比較好的樣子？
從分析的角度來看：
1. 舊制中，累積抽數確實可以大幅降低第二卡池需要的期望抽數
使其從 107.8 降至 84.83，平均少了 23 抽。
2. 但是新制讓單一獨立卡池的抽數期望值從 107.8 大幅降低至 90.7，
單一卡池平均就少了17抽。兩池總和下來舊制就沒這麼大優點
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